Question

已知，如图所示，正方形ABCD，E、M、F、N分别是AD、AB、BC、CD上的点，若EF⊥MN，求证：EF=MN．

Answer 1

分析：过点E作EG⊥BC于G，过点M作MH⊥CD于H，根据正方形的性质可得EG=MH，EG⊥MH，再根据同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△EFG和△MNH全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：证明：如图，过点E作EG⊥BC于G，过点M作MH⊥CD于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴EG=MH，EG⊥MH，
∴∠1+∠3=90°，
∵EF⊥MN，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△EFG和△MNH中，

∠1=∠2 EG=MH ∠EGF=∠MHN=90°

，
∴△EFG≌△MNH（ASA），
∴EF=MN．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．