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    15．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，点A（3a，2a）在第一象限，过点A向x轴作垂线，垂足为点B，连接OA，S△AOB=12．点M从点O出发，沿y轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发，沿射线BO以每秒3个单位长度的速度运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为t秒，连接AM，AN，MN．
    （1）求a的值；
    （2）当0＜t＜2时，
    ①请探究∠ANM，∠OMN，∠BAN之间的数量关系，并说明理由；
    ②试判断四边形AMON的面积是否变化？若不变化，请求出；若变化，请说明理由．
    （3）当OM=ON时，请求出t的值及△AMN的面积．

    分析 （1）根据三角形面积公式可以求出a．
    （2）①如图1作NH∥AB即可证明；②根据S四边形AMON=S梯形ABOM-S△ANB=$\frac{1}{2}$（OM+AB）•OB-$\frac{1}{2}•BN•AB$计算即可．
    （3）分两种情形：①点N在原点左边；②点N在原点右边考虑．

    解答 解：（1）∵S△AOB=12，
    ∴$\frac{1}{2}$•3a•2a=12，
    ∴a2=4，
    ∵a＞0，
    ∴a=2．
    （2）当O＜t＜2时，①结论：∠MNA=∠NMO+∠NAB，理由如下：
    作NH∥AB，
    ∵AB⊥x轴，
    ∴OM∥AB∥NH，
    ∴∠MNO=∠MNH，∠NAB=∠HNA，
    ∴∠MNA=∠NMO+∠NAB．
    ②结论：S四边形AMON=12，理由如下：
    由题意BN=3t，OM=2t，OB=6，AB=4，
    ∵S四边形AMON=S梯形ABOM-S△ANB=$\frac{1}{2}$（OM+AB）•OB-$\frac{1}{2}•BN•AB$=，$\frac{1}{2}（2t+4）•6-\frac{1}{2}•3t•4$=6t+12-6t=12．
    ∴四边形AMON的面积不变．
    （3）∵OM=ON，
    ∴2t=6-3t或2t=3t-6
    ∴t=$\frac{6}{5}$或6，
    t=$\frac{6}{5}$时，OM=$\frac{12}{5}$，BN=$\frac{18}{5}$，ON=$\frac{12}{5}$，
    ∴S△AMN=S△AOM+S△AON-S△MON=$\frac{1}{2}$$•\frac{12}{5}$•6+$\frac{1}{2}$$•\frac{12}{5}$•4-$\frac{1}{2}$$•\frac{12}{5}$$•\frac{12}{5}$=$\frac{228}{25}$．
    当t=6时，如图2，OM=ON=12，
    ∴S△AMN=S△MON+S△OMA-S△ANO=$\frac{1}{2}×12×12+\frac{1}{2}×12×6-\frac{1}{2}×12×4$=84．

    点评 本题考查平面直角坐标系、平行线的性质、三角形、四边形的面积的有关知识，学会用分割法求三角形面积．

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