Question

4．设直线y=-x+m+n与双曲线y=$\frac{1}{x}$交于A（m，n）（m≥2）和B（p，q）两点．设该直线与y轴交于点C，O是坐标原点，则△OBC的面积S的取值范围是$\frac{1}{2}$＜S≤$\frac{5}{8}$．

Answer 1

分析 先确定直线y=-x+m+n与坐标轴的交点坐标，即C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，根据反比例函数的对称性得到点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），根据三角形面积公式得到S_△OBC=$\frac{1}{2}$（m+n）•n，然后mn=1，m≥2确定S的范围．

解答 解：如图，直线y=-x+m+n与x轴交于点D，
C点坐标为（0，m+n），D点坐标为（m+n，0），则△OCD为等腰直角三角形，
∴点A与点B关于直线y=x对称，则B点坐标为（n，m），
∴S=S_△OBC=$\frac{1}{2}$（m+n）•n=$\frac{1}{2}$mn+$\frac{1}{2}$n²，
∵点A（m，n）在双曲线y=$\frac{1}{x}$上，
∴mn=1，即n=$\frac{1}{m}$∴S=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{m}$）²
∵m≥2，
∴0＜$\frac{1}{m}$≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜（$\frac{1}{m}$）²≤$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$＜S≤$\frac{5}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$＜S≤$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查了反比例函数图象与一次函数的交点问题，关键是掌握反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．