Question

如图，在△ABC中，点D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，F是⊙O上的点，且AF=BF．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sinC=，AE=，求sinF的值和AF的长．

Answer 1

解：（1）证明：∵DA=DB（已知），
∴∠DAB=∠DBA（等边对等角）；
又∵∠C=∠DBC（已知），
∴∠DBA﹢∠DBC=（∠DAB+∠DBA+∠C+∠DBC）=×180°=90°（三角形内角和定理），即∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
又∵点B在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线；

（2）如图，连接BE，BF．
∵AB是⊙O的直径（已知），
∴∠AEB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠EBC+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠ABC=90°（由（1）知），
∴∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠C=∠ABE（等量代换）；
又∵∠AFE=∠ABE（同弧所对的圆周角相等），
∴∠AFE=∠C（等量代换），
∴sin∠AFE=sin∠ABE=sinC，
∴sin∠AFE=，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABE中，AB==5
∵AF=BF（已知），
∴AF=BF=5．
分析：（1）欲证BC是⊙O的切线，只需证明∠ABC=90°即可；
（2）如图，连接BE，BF，构建Rt△AEB和Rt△AFB．利用圆周角定理（同弧所对的圆周角相等）、等量代换以及切线的性质推知所求的∠F与已知∠C的数量关系sin∠AFE=sin∠ABE=sinC；然后利用锐角三角函数的定义可以求得sinF的值和AF的长．
点评：本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理以及解直角三角形．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．