Question

20．（1）已知：如图，点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=14cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．
（2）在（1）中如果AC=acm，BC=bcm，其他条件不变，你能猜出MN的长度吗？请用一个代数式表述你发现的结果，并说明理由
（3）如果将（1）题的叙述改为：“已知线段AC=6cm，BC=14cm，点C在直线AB上，点M、N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．

Answer 1

分析 （1）根据点M、N分别是AC、BC的中点，先求出CM、CN的长度，则MN=CM+CN；
（2）根据点M、N分别是AC、BC的中点，CM=$\frac{1}{2}$AC，CN=$\frac{1}{2}$BC，所以MN=$\frac{1}{2}$（AC+BC）=$\frac{a+b}{2}$；
（3）长度会发生变化，分点C在线段AB上、点B在A、C之间和点A在B、C之间三种情况讨论．

解答 解：（1）∵AC=6cm，点M是AC的中点，
∴CM=$\frac{1}{2}$AC=3cm，
∵BC=14cm，点N是BC的中点，
∴CN=$\frac{1}{2}$BC=7cm，
∴MN=CM+CN=10cm，
∴线段MN的长度为10cm；

（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点，
∴MC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$a，NC=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$b．
∴MN=MC+NC=$\frac{1}{2}$a$+\frac{1}{2}$b=$\frac{1}{2}$（a+b）；
（3）线段MN的长度会变化，
当点C在线段AB上时，由（1）知MN=CM+CN=10cm．
当点C在线段AB的延长线时，如图：

则AC=6＜BC=14，
这种情况不存在；
当点C在线段BA的延长线时，如图：

则AC=6＜BC=14，
同理可求：CM=$\frac{1}{2}$AC=3
CN=$\frac{1}{2}$BC=7
∴MN=CN-CM=4，
综上所述，线段MN的长度会变化．

点评 本题主要考查的是线段中点的定义、两点间的距离，明确线段中点的定义是解题的关键．