【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,且与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点,抛物线的对称轴DE交x轴于点E,连接BD.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;
(2)点P是线段BD上一点,当PE=PC时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,过点P作PF⊥x轴于点F,G为抛物线上一动点,M为x轴上一动点,N为直线PF上一动点,当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时,请求出点M的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)(2,2);(3)(,0),(,0),(,0),(,0).
【解析】
试题分析:(1)利用待定系数法求出过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;(2)连接PC、PE,利用公式求出顶点D的坐标,利用待定系数法求出直线BD的解析式,设出点P的坐标为(x,﹣2x+6),利用勾股定理表示出PC2和PE2,根据题意列出方程,解方程求出x的值,计算求出点P的坐标;(3)设点M的坐标为(a,0),表示出点G的坐标,根据正方形的性质列出方程,解方程即可.
试题解析:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,
∴, 解得,, ∴经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3;
(2)如图1,连接PC、PE, x=﹣=﹣=1, 当x=1时,y=4,
∴点D的坐标为(1,4), 设直线BD的解析式为:y=mx+n,则, 解得,,
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6, 设点P的坐标为(x,﹣2x+6),
则PC2=x2+(3+2x﹣6)2,PE2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2, ∵PC=PE,
∴x2+(3+2x﹣6)2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2, 解得,x=2, 则y=﹣2×2+6=2, ∴点P的坐标为(2,2);
(3)设点M的坐标为(a,0),则点G的坐标为(a,﹣a2+2a+3),
∵以F、M、G为顶点的四边形是正方形, ∴FM=MG,即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|,
当2﹣a=﹣a2+2a+3时, 整理得,a2﹣3a﹣1=0, 解得,a=,
当2﹣a=﹣(﹣a2+2a+3)时, 整理得,a2﹣a﹣5=0, 解得,a=,
∴当以F、M、G为顶点的四边形是正方形时,点M的坐标为(,0),(,0),(,0),(,0).
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【题目】如图,线段AC、BD交于点M,过B、D两点分别作AC的垂线段BF、DE,AB=CD.
(1)若∠A=∠C,求证FM=EM;
(2)若FM=EM,则∠A=∠C.是真命题吗?(直接判断,不必证明)
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【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请写出新的结论并说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=ax﹣a(a为常数)的图象与y轴相交于点A,与函数的图象相交于点B(m,1).
(1)求点B的坐标及一次函数的解析式;
(2)若点P在y轴上,且△PAB为直角三角形,请直接写出点P的坐标.
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【题目】雾霾天气是一种大气污染状态,造成这种天气的“元凶”是PM2.5,PM2.5是指直径小于或等于0.0000025米的可吸入肺的微小颗粒,将数据0.0000025科学记数法表示为( )
A. 2.5×106 B. 2.5×10﹣6 C. 0.25×10﹣6 D. 0.25×107
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【题目】某校260名学生参加植树活动,要求每人植4﹣7棵,活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量,并分为四种类型,A:4棵;B:5棵;C:6棵;D:7棵,将各类的人数绘制成扇形图(如图1)和条形图(如图2).
回答下列问题:
(1)补全条形图;
(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数;
(3)请你计算平均数,并估计这260名学生共植树多少棵?
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【题目】已知Rt△ABC中,∠C=90,AC=4,BC=8。动点P从点C出发,以每秒2个单位的速度沿射线CB方向运动,连接AP.设运动时间为t s.
(1)求斜边AB的长.
(2)当t为何值时,△PAB的面积为6?
(3)若t<4,请在所给的图中画出△PAB中AP边上的高BQ,问:当t为何值时,BQ长为4?并直接写出此时点Q到边BC的距离.
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【题目】某学习小组五名同学在期末模拟考试(满分为120)的成绩如下:100、100、x、x、80.已知这组数据的中位数和平均数相等,那么整数x的值可以是_____.
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