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    如图，点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=
    1
    4
    x+
    1
    12
    的图象上的点，点A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…，An（xn，0）（n是正整数）依次是x轴正半轴上的点，已知x1=a（0＜a＜1），△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形．
    （1）写出B2，Bn两点的坐标；
    （2）求x2，x3（用含a的代数式表示）；分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系，写出你认为成立的两个结论；
    （3）当a（0＜a＜1）变化时，在上述所有的等腰三角形中，是否存在直角三角形？若存在，求出相应的a的值；若不存在，请说明理由．
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    分析：（1）因为点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3）…，Bn（n，yn）（n是正整数）依次为一次函数y=
    1
    4
    x+
    1
    12
    的图象上的点，所以分别令x=2，x=n，求出相应的y值即可；
    （2）因为△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…△AnBnAn+1分别是以B1，B2，B3，…，Bn为顶点的等腰三角形，利用等腰三角形底边上的高垂直平分底边，可知x2-1=1-x1，x3-2=2-x2，其中x1=a，所以x2=2-a，x3=4-x2=2+a，
    分析图形中各等腰三角形底边长度之间的关系时，分两种情况，当顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a；顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a；
    （3）可设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
    当n为奇数时，有2-2a=2（
    n
    4
    +
    1
    12
    )    ，化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值；当n为偶数时，有2a=2（
    n
    4
    +
    1
    12
    )    ，同样化简得到用a表示n的式子，结合a的取值范围，求出n的取值范围，利用n是正整数，即可求出n的值．
    解答：解：（1）B2(2，
    7
    12
    )，Bn(n，
    n
    4
    +
    1
    12
    )    ；

    （2）x2=2-a，x3=2+a，
    结论1：顶点为B1，B3，B5，等奇数位置上的等腰三角形底边长都等于2-2a，
    结论2：顶点为B2，B4，B6，等偶数位置上的等腰三角形底边长都等于2a，
    结论3：每相邻的两个等腰三角形底边之和都等于常数2．

    （3）设第n个等腰三角形恰好为直角三角形，那么这个三角形的底边等于高yn的2倍．由第（2）小题的结论可知：
    当n为奇数时，有2-2a=2（
    n
    4
    +
    1
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    )    ，化简得：n=-4a+
    11
    3
    (0＜a＜1)    ，
    ∴-
    1
    3
    ＜n＜
    11
    3
    ，∴n=1或3
    ∴a=
    2
    3
    或
    1
    6
    ，
    当n为偶数时，有2a=2(
    n
    4
    +
    1
    12
    )    ，得：n=4a-
    1
    3
    (0＜a＜1)    ，
    ∴-
    1
    3
    ＜n＜
    11
    3
    ，∴n=2
    ∴a=
    7
    12
    ，
    综上所述，存在直角三角形，且a=
    2
    3
    或
    1
    6
    或
    7
    12
    ．
    点评：本题需利用数形结合的思想，灵活运用一次函数同等腰三角形的性质来解决问题．
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