Question

如图，是某空军部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O、A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别是α和β，OA=1千米，，位于O点的正上方千米D点处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大3千米时，相应水平距离为4千米．（即图中E点）
（1）若导弹运行轨道为一抛物线，求该抛物线的解析式；
（2）按以上轨道运行的导弹能否击中目标C？请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵顶点E的坐标为（4，3）．
∴设函数的表达式为y=a（x-4）²+3．
将D（0，）代入得，a=-．
∴y=-（x-4）²+3
=-x²+x+．

（2）过点C作CF⊥x轴于点F，tanα=．
∵tanα=，=，
∴OF=CF．
∵tanβ=，
∴=，∴AF=CF．
∵OF-AF=OA=1，
∴CF-CF=1，
∴CF=，OF=CF=×=7，
∴C（7，）．
把x=7代入y=-x²+x+．
得y=．
∴点C在抛物线上，
∴导弹能击中目标C．
分析：（1）依题意得抛物线顶点E（4，3），经过D（0，），这顶点式，可求抛物线解析式；
（2）过C点作x轴的垂线，垂足为F，解直角三角形OCF、ACF，可得CF，OF的长，从而可得点C的坐标，判断点C是否满足抛物线解析式．
点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．