Question

（2013•安庆一模）如图，用三个能够重合的正方形ABGH、BCFG、CDEF拼成矩形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于点P、Q．

（1）若AB=6cm，求线段BP的长；
（2）观察图形，共有多少对全等三角形？请选出一对给予证明．

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形（△ABP∽△ADE）的对应边成比例列出比例式

BP

DE

=

AB

AD

，所以根据正方形的性质将相关线段的长度代入并求值即可；
（2）根据全等三角形的判定定理进行解题．

解答：解：（1）∵正方形ABGH、BCFG、CDEF是全等正方形，
∴BC=CD=DE=AB=6cm
∴AD=3AB=3×6=18（cm）
∵BG∥DE
∴∠ABG=∠D，∠ABP=∠AED
∴△ABP∽△ADE
∴

BP

DE

=

AB

AD

，
∴BP=

AB

AD

•DE=

6

18

×6=2（cm）              
即线段BP的长度是2cm；

（2）图中共有三对全等三角形：△ABP≌△EFQ、△ACQ≌△EGP、△ADE≌△EHA．
证明：∵正方形ABGH、BCFG、CDEF是全等的正方形，
∴AB=BC=EF=FG
∴AB+BC=EF+FG，即AC=EG．
∵AD∥HE，
∴∠1=∠2
∵BG∥CF，
∴∠3=∠4，
∴在△ACQ与△EGP中，

∠1=∠2 ∠3=∠4 AC=EG

∴△ACQ≌△EGP（AAS）．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及矩形的性质．在利用相似三角形的对应边成比例时，一定要找准对应边，以防错解．