Question

如图，抛物线y=-x²+px+q与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且∠ACB=90°，又tan∠CAO-tan∠CBO=2．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以MN为直径的圆恰好与x轴相切，求此圆的半径长．

Answer 1

解：（1）设A、B两点横坐标分别为x₁，x₂，则q=-x₁x₂=（-x₁）x₂=OA•OB，
由题意知，OC是Rt△ABC斜边AB上的高，由直角三角形中的射影定理得OC²=OA•OB，
故q²=q，
故q=1或q=0，
因此二次函数的图象不过原点，
故q=0舍去，取q=1，
由上知x₁•x₂=-1，C的纵坐标为1，
又由tan∠CAO-tan∠CBO=2得变形得，
亦即x₁+x₂=2，
∴p=2，
综合上述：二次函数的解析式为y=-x²+2x+1，
答：此二次函数的解析式为y=-x²+2x+1．

（2）设M（x₃，r），N（x₄，r），x₃＜x₄，
∴MN=x₄-x₃，
∴r=-x₃²+2x₃+1r=-x₄²+2x₄+1，
故x₃，x₄是方程-x²+2x-r+1=0的两根，
∴x₃+x₄=2，x₃•x₄=r-1，
∵以MN为直径的圆与x轴相切，
故，即，
两边平方得，
即，
解得r=1或r=2，
答：此圆的半径长是1或2．
分析：（1）设A、B两点横坐标分别为x₁，x₂，得到q=OA•OB，根据直角三角形的射影定理得出OC²=OA•OB，求出q=1，根据tan∠CAO-tan∠CBO=2得求出x₁+x₂=2=p即可；
（2）设M（x₃，r），N（x₄，r），推出MN=x₄-x₃，r=-x₄²+2x₄+1，根据根与系数的关系得出x₃+x₄=2，x₃•x₄=r-1，根据以MN为直径的圆与x轴相切，得出方程，求出即可．
点评：本题主要考查对根与系数的关系，解一元二次方程，直线与圆的位置关系，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．