Question

18．已知函数y=mx²-（m+3）x+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点．
（2）若该抛物线的顶点坐标为（p，q），且m＞0，直接写出q的最大值．
（3）若一次函数y=x-1的图象与该函数的图象恰好只有一个公共点，求m的值及这个交点的坐标．

Answer 1

分析 （1）观察方程mx²+（m-3）x-3=0可把原方程分解成（x+1）•（mx-3）=0，解出方程的两根即可；
（2）根据抛物线y=ax²+bx+c的顶点（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）即可得出答案；
（3）当m=0时，两函数均为一次函数，必有一交点； 当m≠0时函数为二次函数，将两函数组成方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式求m的值即可．

解答 解：（1）由mx²+（m-3）x-3=0，得（x+1）•（mx-3）=0，
∵m≠0，
∴x₁=-1，x₂=$\frac{3}{m}$，
∴不论m为何值，该函数的图象都经过x轴上的一个定点（-1，0）；
（2）依题意，得q=$\frac{4m×3-[-（m+3）]^{2}}{4m}$=-$\frac{（m-3）^{2}}{4m}$=-$\frac{1}{4m}$（m-3）²，
∵m＞0，
∴q的最大值为0．
（3）当m=0时，两函数均为一次函数且比例系数不同，必有一交点，列方程组得$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+3}\\{y=x-1}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，即交点坐标为（1，0）；
当m≠0时，把y=x-1代入y=mx²-（m+3）x+3得，x-1=mx²-（m+3）x+3，整理得mx²-（m+4）x+4=0，
∵两函数图象只有一个交点；
∴△=0，即△=（m+4）²-4×4m=0．
解得m=4，
把m=4代入方程mx²-（m+4）x+4=0得，4x²-4x+1=0，解得x=1，
把x=1代入一次函数y=x-1得，y=0，即两函数交点坐标为（1，0）．
故当m=0或m=4时，一次函数y=x-1的图象与该函数的图象恰好只有一个公共点，两函数交点坐标为（1，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查的是二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点及根的判别式，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．