Question

6．如图，四边形ABCD是矩形，AB：AD=4：3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE，则DE：AC的值是（　　）

• A． 1：3
• B． 3：8
• C． 8：27
• D． 7：25

Answer 1

分析 根据翻折的性质可得∠BAC=∠EAC，再根据矩形的对边平行可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DCA=∠BAC，从而得到∠EAC=∠DCA，设AE与CD相交于F，根据等角对等边的性质可得AF=CF，再求出DF=EF，从而得到△ACF和△EDF相似，根据相似三角形对应边成比例求出$\frac{DF}{FC}$=$\frac{EF}{AF}$，设AB=4x，AD=3x，则AC=5x，设DF=y，则AF=FC=4x-y，在Rt△ADF中，利用勾股定理列式求出DF，然后代入进行计算即可得解．

解答 解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴∠BAC=∠EAC，AE=AB=CD，
∵矩形ABCD的对边AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠EAC=∠DCA，
设AE与CD相交于F，则AF=CF，
∴AE-AF=CD-CF，
即DF=EF，
∴$\frac{DF}{FC}$=$\frac{EF}{AF}$，
又∵∠AFC=∠EFD，
∴△ACF∽△EDF，
∴$\frac{DF}{FC}$=$\frac{DE}{AC}$，
设AB=4x，AD=3x，则AC=5x，设DF=y，则AF=FC=4x-y，
在Rt△ADF中，（3x）²+y²=（4x-y）²，
解得：y=$\frac{7}{8}$x，故FC=$\frac{25}{8}$x
∴$\frac{DF}{FC}$=$\frac{DE}{AC}$=$\frac{7}{25}$．
故选：D．

点评 本题考查了矩形的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，综合性较强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．