已知矩形ABCD中.AB=10cm.AD=4cm.作如下折叠操作．如图1和图2所示．在边AB上取点M.在边AD或DC上取点P.连接MP.将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠到△A′MP或四边形A′MPD′.点A落点为点A′.点D落点为点D′．探究:(1)如图1.若AM=8cm.点P在AD上.点A′落在DC上.则∠MA′C的度数为30°．(2)如图2.若AM=5cm.点P在DC上.点A′落在DC上．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．已知矩形ABCD中，AB=10cm，AD=4cm，作如下折叠操作．如图1和图2所示．在边AB上取点M，在边AD或DC上取点P，连接MP，将△AMP或四边形AMPD沿着直线MP折叠到△A′MP或四边形A′MPD′，点A落点为点A′，点D落点为点D′．
探究：

（1）如图1，若AM=8cm，点P在AD上，点A′落在DC上，则∠MA′C的度数为30°．
（2）如图2，若AM=5cm，点P在DC上，点A′落在DC上．
①求证：△MA′P是等腰三角形；
②请直接写出线段DP的长是3cm．
（3）若点M固定为AB的中点，点P由A开始，沿A-D-C方向，在AD、DC边上运动，设点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t s，按操作要求折叠：
①求：当MA′与线段DC有交点时，t的取值范围；
②直接写出当点A′到边AB 的距离最大时，t的值是5s．
发现：若点M在线段AB上移动，点P仍为线段AD或DC上的任意点，随着点M的位置不同，按操作要求折叠后，点A的落点A′的位置会出现以下三种不同的情况：不会落在线段DC上，只有一次落在线段DC上，会有两次落在线段DC上．请直接写出点A′有两次落在线段DC上时，AM的取值范围是4＜AM≤5.8．

分析（1）作辅助线ME，根据直角三角形中一条直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°，求出∠MA′C的度数；
（2）①根据折叠的性质和矩形对边平行可得：∠CPM=∠A′MP，则△MA′P是等腰三角形；
②在Rt△A′PD′中，由勾股定理求出PD′的长，也就是PD的长；
（3）①分别计算两个位置时t的值：i）当P在AD上，点A′落在DC上时，如图3，设AP=A′P=xcm，在Rt△A′DP中，由勾股定理列方程得x²=2²+（4-x）²，解出即可；
ii）当点P在DC上，A′也在DC上时，如图2，由（2）问得PD=3cm，则t=7s，从而写出最后的取值；
②当A′M⊥AB时，点A′到边AB 的距离最大，A′M=AM=5，此时t的值是5s；
发现：点A的落点A′，在以M为圆心，AM为半径的圆上，分两种情况进行计算，⊙M与CD相切和相交时，求AM的长，写出取值即可．

解答解：（1）如图1，过M作ME⊥CD于E，
则ME=AD=4，
由折叠得：AM=A′M=8，
∴ME=$\frac{1}{2}$A′M，
∴∠MA′C=30°；
故答案为：30°；
（2）①如图2，∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CPM=∠AMP，
由折叠得：∠AMP=∠A′MP，
∴∠CPM=∠A′MP，
∴A′M=A′P，
∴△MA′P是等腰三角形；
②如图2，由折叠得：A′M=AM=5，A′D′=AD=4，
由①得：A′M=A′P=5，
在Rt△A′PD′中，PD′=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴PD=PD′=3cm；
故答案为：3cm；
（3）①当P在AD上，点A′落在DC上时，如图3，
过M作ME⊥CD于E，
∵M是AB的中点，AB=10，
∴AM=5，
由折叠得：A′M=AM=5，
∵MN=4，
设AP=A′P=xcm，
同理得：A′E=3，
∴A′D=DE-A′E=5-3=2，
PD=4-x，
在Rt△A′DP中，x²=2²+（4-x）²，
解得x=2.5，
此时，t=2.5s；
当点P在DC上，A′也在DC上时，如图2，
此时PD=3cm，
t=7s，
∴当MA′与线段DC有交点时，t的取值范围为2.5≤t≤7；
②当点A′到边AB 的距离最大时，即A′M⊥AB时，如图4，
由折叠得：A′M=AM=5，
此时t的值是5s；
故答案为：5s；
发现：点A的落点A′，在以M为圆心，AM为半径的圆上，
当圆M与线段CD有唯一交点时，如图5，此时AM=4cm；
当圆M交线段CD于点C时，如图6，
设AM=xcm，则CM=xcm，BM=（10-x）cm，
在Rt△MBC中，由勾股定理得：MC²=BM²+BC²，
∴x²=（10-x）²+4²，
x=5.8，
∴点A′有两次落在线段DC上时，AM的取值范围是：4cm＜AM≤5.8cm．
故答案为：4cm＜AM≤5.8cm．

点评本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、等腰三角形、勾股定理及折叠的性质，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题，本题难度适中，要特别注意点P的不同位置，所构成的折叠图形也有所不同．

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