Question

5．如图，在半径为5的圆中，AB、CD互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，根据垂径定理得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=4，再利用勾股定理可计算出OE=3，OF=3，接着证明四边形OEPF为矩形，则OF=PE=3，然后在Rt△OPE中利用勾股定理即可得到OP=$\sqrt{2}$OE=3$\sqrt{2}$．

解答 解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OB、OD，如图，
则AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，DF=CF=$\frac{1}{2}$CD=4，
在Rt△BOE中，∵OB=5，BE=4，
∴OE=$\sqrt{O{B}^{2}-B{E}^{2}}$=3，
同理可得OF=3，
∵AB⊥CD，OF⊥CD，OE⊥AB，
∴四边形OEPF为矩形，
∴OF=PE=3，
在Rt△OPE中，∵OE=3，PE=3，
∴OP=$\sqrt{2}$OE=3$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．