Question

【题目】如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．

解：∵矩形ABCD中，O为AC中点

∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF

∴AE=CF，故①正确

∵矩形ABCD中，O为AC中点，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC，

∵FO=FC，

∴FB垂直平分OC，故②正确；

∵△BOC为等边三角形，FO=FC，

∴BO⊥EF，BF⊥OC，

∴∠CMB=∠EOB=90°，

∴BO≠BM，

∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；

连接BD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AC、BD互相平分，

∵O为AC中点，

∴BD也过O点，且BO=DO

由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF

∴四边形EBFD是平行四边形

由②可知，OB=CB，OF=FC

又∵BF=BF

∴△OBF≌△OCF

∴BD⊥EF

∴平行四边形EBFD是菱形，故④正确

所以其中正确结论的个数为3个；

故选：C．