Question

下面说法正确的个数是      个．
①若α、β均为锐角，且α+β=90°，sinα=，则cosβ=；
②半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为＜“m“：math dsi：zoomscale=150 dsi：_mathzoomed=1＞3：：1；
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
④关于x的一元二次方程kx²+x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜且k≠0．

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

D
分析：①利用α+β=90°，sin²α+cos²β=1，求出即可；
②从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得；
③根据矩形的判定得出即可；
④利用根的判别式求出k的取值范围即可．
解答：①若α、β均为锐角，且α+β=90°，sinα=，
∵sin²α+cos²β=1，
∴cosβ==；故此选项正确；
②设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
则内接正三角形的边长是2rsin60°=r，
内接正方形的边长是2rsin45°=r，
正六边形的边长是r，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：：1．
故此选项正确；
③根据矩形的判定得出，对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项正确；
④∵关于x的一元二次方程kx²+x+1=0有两个不相等的实数根，
∴b²-4ac=k+1-4k＞0，k≠0，
解得：k＜，
则k的取值范围是k＜且k≠0，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．
点评：此题主要考查了根的判别式以及矩形的判定和锐角三角函数的关系以及正多边形的性质，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．