Question

如图，已知矩形ABCD中AB：BC=3：1，点A、B在x轴上，直线y=mx+n（m＜n＜且n≠0），过点A、C交y轴于点E，S_△AOE=S_矩形ABCD，抛物线y=ax²+bx+c过点A、B，且顶点G在直线y=mx+n上，抛物线与y轴交于点F．
（1）求点A、B的坐标（用n表示）；
（2）求代数式abc的值；
（3）求S_△AGF的范围．

Answer 1

解：（1）直线AE中，y=mx+n，则E（0，n）；
∵AB=3BC，则tan∠CAB=，
∴OA=3OE=3n，即A（-3n，0）；
△AOE中，AO=3n，OE=n，则S_△AOE=OA•OE=；
矩形ABCD中，AB=3BC，则S_矩形ABCD=AB•BC=AB²；
∵S_△AOE=S_矩形ABCD，
∴n²=×AB²，即AB=2n，
故OB=OA-AB=n，即B（-n，0）；
∴A（-3n，0），B（-n，0）．

（2）∵G是抛物线的顶点，且A（-3n，0），B（-n，0），
∴G点的横坐标为-2n；
易知G是线段AC的中点，故AB=3BC=6y_G，
∴G点的纵坐标为n；
即G（-2n，n）；
设抛物线的解析式为y=a（x+2n）²+n，将A（-3n，0）代入上式，得：
a×n²+n=0，即a=-；
∴y=-（x+2n）²+n=-x²-x-n；
故abc=（-）×（-）×（-n）=-．

（3）根据（2）得到的抛物线解析式，易知F（0，-n）；
∵E（0，n），A（-3n，0），G（-2n，n），n≠0，
∴S_△AEF=EF•OA=3n²，S_△EGF=EF•|x_G|=2n²，
∴S_△AGF=S_△AEF-S_△EGF=3n²-2n²=n²，
故S_△AGF的范围为：＜S_△AGF＜．
分析：（1）根据直线AE的解析式可得到点E的坐标，已知AB=3BC，即AO=3OE，由此可求得点A的坐标；易求得△AOE的面积，即可得到矩形ABCD的面积，由于AB=3BC，可用AB表示出矩形ABCD的面积，进而可得到AB的值（含n的表达式），由此可确定点B的坐标．
（2）由于点G是抛物线的顶点，即在抛物线的对称轴上，根据A、B的坐标，可求得点G的横坐标，而G点在直线AE上，那么G点的纵坐标应该是AB的（由于AB=3BC=6y_G），由此可确定点G的坐标；可将抛物线设为顶点坐标式，将A或B的坐标代入其中，即可求出含n的抛物线解析式，进而可求出abc的值．
（3）△AGF的面积无法直接求出，分析图形后可知△AGF的面积为△AEF、△EGF的面积差，这两个三角形的顶点的坐标都已求出，即可得到△AGF的面积表达式（含n的式子），根据已知的n的取值范围，即可求得△AGF的面积范围．
点评：此题是二次函数的综合题，涉及到函数图象与坐标轴交点坐标的求法、函数解析式的确定、图形面积的求法等重要知识，由于本题中大部分数据都是字母，乍看之下无从下手，但是只要将字母当做已知数来对待，即可按照常规思路解决问题．