Question

如图，已知R t△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连接BD．
（1）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．
（2）若AD=3，BD=4，求边BC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵OD=OB（⊙O的半径），
∴∠OBD=∠BDO（等边对等角）；
∵AB是直径（已知），
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ADB=∠BDC=90°；
在Rt△BDC中，E是BC的中点，
∴BE=CE=DE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠DBE=∠BDE（等边对等角）；
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，
∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代换）；
∵点D在⊙O上，
∴ED与⊙O相切；

（2）在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=4，
∴AB=5（勾股定理）；
在Rt△BDC和Rt△ADB中，∠ADB=∠BDC=90°，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠BCD，
∴△BDC∽△ADB，
∴=．即=，
∴BC=．
分析：（1）连接OD．欲证ED与⊙O相切，只需证明OD⊥DE；
（2）通过相似三角形△BDC∽△ADB的对应边成比例知=，由此可以求得线段BC的长度．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质．圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是圆的一条切线．