Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E.

（1）求证：点E是边BC的中点；

（2）若EC=3，BD=，求⊙O的直径AC的长度；

（3）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.

Answer 1

（1）证明：连接DO，

∵∠ACB=90°，AC为直径，

∴EC为⊙O的切线，

又∵ED也为⊙O的切线，

∴EC=ED.

又∵∠EDO=90°，

∴∠BDE+∠ADO=90°，

∴∠BDE+∠A=90°，

又∵∠B+∠A=90°

∴∠BDE=∠B，

∴EB=ED.

∴EB=EC，即点E是边BC的中点.

（2）∵BC，BA分别是⊙O的切线和割线，

∴BC²=BD?BA，

∴（2EC）²= BD?BA，即BA?=36，

∴BA=，

在Rt△ABC中，由勾股定理得

AC===.

（3）△ABC是等腰直角三角形.

理由：∵四边形ODEC为正方形，

∴∠DOC=∠ACB=90°，即DO∥BC，

又∵点E是边BC的中点，

∴BC=2OD=AC,

∴△ABC是等腰直角三角形.