Question

（2012•重庆模拟）已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长CB至E，使CE=CA，F是AE的中点，连接DF、CF分别交AB于G、H点
（1）求证：FG=FH；
（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD的面积．

Answer 1

【答案】分析：要证明FG=FH，证明∠FGH=∠FHG即可，因为ABCD为矩形，AB∥CD，所以只要证明∠FDC=∠FCD即可证得．
解答：（1）证明：连接BF
∵ABCD为矩形
∴AB⊥BC AB⊥AD AD=BC
∴△ABE为直角三角形
∵F是AE的中点
∴AF=BF=BE
∴∠FAB=∠FBA
∴∠DAF=∠CBF
∵
∴△DAF≌△CBF
∴∠ADF=∠BCF
∴∠FDC=∠FCD
∴∠FGH=∠FHG
∴FG=FH；

（2）解：∵AC=CE，∠E=60°
∴△ACE为等边三角形
∴CE=AE=8
∵AB⊥BC
∴∠BAC=30°，
∴BC=BE==4
∴根据勾股定理AB=
∴梯形AECD的面积===．
点评：本题有多种证明方法，例如从F点向CD引垂线．灵活的作辅助线是解题的关键．