Question

如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．
（1）证明：△BDF≌△DCE；
（2）如果给△ABC添加一个条件，使四边形AFDE成为菱形，则该条件是______；
（3）如果给△ABC添加一个条件，使四边形AFDE成为矩形，则该条件是______．
（4）请从（2）（3）中选择一个结论进行证明．（均不再增添辅助线）

Answer 1

（1）证明：∵D为BC边的中点，
∴BD=CD，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDC=∠B，∠FDB=∠C，
在△FDB和△ECD中，，
∴△FDB≌△ECD（ASA）；

（2）添加条件AB=AC，

（3）添加条件∠A=90°；

（4）证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴四边形AFDE是矩形．
分析：（1）根据DE∥AB，DF∥AC，得出∠EDC=∠B，∠FDB=∠C，再利用BD=CD，求出△FDB≌△ECD；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，可以得出；
（3）根据有一个角是90°的平行四边形是矩形可以证出；
（4）根据矩形、菱形判定可以证出．
点评：此题主要考查了菱形、矩形的判定以及平行线的性质和全等三角形的判定等知识，熟练利用矩形、菱形判定得出是解题关键．