Question

（本题满分12分）
已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。
小题1:（1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
小题2:（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由。

Answer 1

小题1:（1）证明：如图I，分别连接OE、0F
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
∠ADO=∠ADC=×60°=30°
又∵E、F分别为DC、CB中点
∴OE=CD，OF=BC，AO=AD
∴0E=OF=OA  ∴点O即为△AEF的外心
小题2:（2）
①猜想：外心P一定落在直线DB上。
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J
∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60°
∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA
∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。
②为定值2.
当AE⊥DC时．△AEF面积最小，
此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由（1）
可得点P即为△AEF的外心
解法一：如图3．设MN交BC于点G
设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN=
∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x．
∴
∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM
∴，∴
∴
∴，即
其它解法略。

略