Question

已知：如图，抛物线y=

1

4

x2+

1

2

x-2与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋90°到△A′OB′，且抛物线y=ax²+2ax+c（a≠0）过点A′、B′．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线y=ax²+2ax+c的解析式；
（3）点D在x轴上，若以B、B′、D为顶点的三角形与△A′B′B相似，求点D的坐标．

Answer 1

分析：（1）令y=

1

4

x2+

1

2

x-2=0，解一元二次方程即可求出A点的坐标，B点是（0，c）．
（2）把点A′、B′的坐标代入y=ax²+2ax+c，求出a，c问题得解．
（3）因为相似对应的不唯一性，需要讨论，分别求出满足题意的D的坐标．

解答：解：（1）令y=

1

4

x2+

1

2

x-2=0，
解得：x₁=-4，x₂=2
∵A点在x轴的负半轴，
∴x₂=2（舍去）
∴A（-4，0），
∵点B是抛物线与y轴的交点，
∴B（0，-2）；

（2）由题意得A′（0，-4），B′（2，0），
代入y=ax²+2ax+c得y=

1

2

x2+x-4；

（3）由题意有∠OB'B=45°，∠B′BA′=135°，且

BB′

BA′

=

1

2

=

2

，
如果∠B′DB=135°，由于∠OB′B=45°，所以不可能；
如果∠DBB′=135°，由于∠OB′B=45°，所以也不可能；
若∠DB′B=135°，则点D在B'的右侧
当

BB′

B′D

=

1

2

或

BB′

B′D

=

2

时，△BB′D与△A′B′B相似，
得DB′=2或DB′=4，
∴D（4，0）或D（6，0）．

点评：本题考查的是二次函数与相似的综合应用，这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．