Question

用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．

（1）上图中的格点多边形．其内部都只有1个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与x之间的关系式．
答：S=

1

2

x

．

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	2.5	3	4	…
各边上格点的个数和x	4	5	6	8	…

（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个格点．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：S=

1

2

x+1

．
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有N个格点时，猜想S与x有怎样的关系．答：S=

1

2

x+（N-1）

．

Answer 1

分析：（1）由（1）可以直接得到S=

1

2

x；
（2）由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，⑤的各边上格点的个数为4，面积为3，⑥的各边上格点的个数为10，面积为6，进而得出答案；
（3）由图可知多边形内部都有而且只有N格点时，面积为：S=

1

2

x+（N-1）．

解答：解：（1）∵①各边上格点个数和为：4，S=2，②各边上格点个数和为：5，S=2.5，
③各边上格点个数和为：6，S=3，
④各边上格点个数和为：7，S=3.5，
∴S=

1

2

x；

（2）由图可知多边形内部都有而且只有2格点时，
⑤的各边上格点的个数为4，面积为3，
⑥的各边上格点的个数为10，面积为6，
∴S=

1

2

x+1；

（3）由图可知多边形内部都有而且只有N格点时，面积为：S=

1

2

x+（N-1）．
故答案为：

1

2

x；

1

2

x+1；

1

2

x+（N-1）．

点评：此题主要考查了图形的变化类，此题需要根据图中表格和自己所算得的数据，总结出规律．寻找规律是一件比较困难的活动，需要仔细观察和大量的验算．