Question

【题目】问题背景：如图1，在中，，，，四边形是正方形，求图中阴影部分的面积．

（1）发现：如图，小芳发现，只要将绕点逆时针旋转一定的角度到达，就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解答.根据小芳的发现，可求出图1中阴影部分的面积为______；（直接写出答案）

（2）应用：如图，在四边形中，，，于点，若四边形的面积为，试求出的长；

（3）拓展：如图，在四边形中，，，，以为顶点作为角，角的两边分别交，于，两点，连接，请直接写出线段，，之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）；（3）．

【解析】

（1）由题意根据全等三角形的性质以及运用等量代换得出，进而得出的面积即阴影部分的面积；

（2）由题意把绕点旋转到处，使与重合，利用全等三角形的性质进行等量代换得出，进而进行分析即可；

（3）根据题意延长AC到G，使CG=BE，并构造全等三角形，运用全等三角形的判定和性质进行分析即可 ．

解：（1）∵绕点逆时针旋转一定的角度到达，

∴，

∵四边形是正方形，，

∴等量代换可知，

∵，，

∴阴影部分的面积即的面积为：.

（2）如图，把绕点旋转到处，使与重合，可得.

，

，

即，、、三点共线.

又，四个角都为，

四边形是正方形，易得.

，即.

（3）线段BE、CF、EF之间的数量关系为：EF=BE+CF.

理由：如图，延长AC到G，使CG=BE，

∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，

∴∠B=∠DCG，

在△DBE和△DCG中，

，

∴△DBE≌△DCG（SAS），

∴DE=DG，∠BDE=∠CDG，

∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，

∴∠BDE+∠CDF=60°，

∴∠CDG+∠CDF=60°，

∴∠EDF=∠GDF，

在△EDF和△GDF中，

，

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF=GF，

∵GF=CG+CF，

∴GF=BE+CF，

∴EF=BE+CF．