Question

12．如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，延长BC至点D，连接AD，点E是AD上一点，且∠D+2∠EBD=90°．
（1）求证：AB=AE；
（2）若∠ABE=∠BCE，求证：CE=$\frac{1}{2}$BE．

Answer 1

分析 （1）根据三角形外角性质和已知求出∠ABE=∠AEB，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）过A作AM⊥BE，交BE于M，求出∠AEC=90°=∠AMB，根据AAS推出△AMB≌△BEC，根据全等三角形的性质得出CE=BM即可．

解答 证明：（1）∵∠D+∠EBD=∠AEB，∠D+2∠EBD=90°，
∴∠AEB+∠EBD=90°，
∵∠ABC=90°=∠ABE+∠EBD，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE；

（2）如图：
过A作AM⊥BE，交BE于M，
∵AB=AE，
∴BM=ME，∠AMB=90°，∠ABE=∠AEB，
∵∠ABE=∠BCE，
∴∠ABE=∠BCE，
∵∠ABE+∠DBE=∠ABC=90°，
∴∠ACE+∠DBE=90°，
∴∠AEC=90°=∠AMB，
在△AMB和△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠BCE}\\{∠AMB=∠AEC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△BEC（AAS），
∴CE=BM，
∵BM=ME=$\frac{1}{2}$BE，
∴CE=$\frac{1}{2}$BE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，等腰直角三角形性质的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．