Question

13．已知二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1．
（1）该抛物线与x轴有1或2或没有个交点；
（2）如果直线y=x+1经过二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1图象顶点P，则m的值可以是-2或0．

Answer 1

分析 （1）先求出△=4（m²+3m），再分△=0，△＞0，△＜0三种情况讨论即可；
（2）先求出顶点P的坐标，根据题意得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）y=x²+2（m+1）x-m+1，
△=[2（m+1）]²-4（-m+1）
=4m²+8m+4+4m-4
=4（m²+3m），
当m=0，或m=-3时，△=0，抛物线与x轴有一个交点；
当m＞0或m＜-3时，△＞0，抛物线与x轴有两个交点；
当-3＜m＜0时，△＜0，抛物线与x轴没有交点；
综上所述：抛物线与x轴有1个或2个或没有交点；
故答案为：1或2或没有；
（2）抛物线y=x²+2（m+1）x-m+1的顶点P坐标为：（-m-1，-m²-3m），
∵点P在直线y=x+1上，
∴-m²-3m=-m-1+1，
解得：m=0，或m=-2，
∴当直线y=x+1经过二次函数y=x²+2（m+1）x-m+1图象的顶点P时，m的值是-2或0．
故答案为：-2或0．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴交点的三种情况、字母系数的求法、解方程；熟练掌握抛物线与x轴的交点情况是解决问题的关键．