Question

已知：在△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CE与BD相交于F，EH⊥BC于H，EH与BD相交于G．
（1）求∠ECB的度数；
（2）求证：△AEC≌△FEB；
（2）求证：BF=2CD；
（3）探究EG与EF的大小关系，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形的性质可得∠ECB的度数；
（2）利用AAS判定Rt△EFB≌Rt△EACL；
（3）利用等腰三角形三线合一的性质，结合全等三角形的性质即可证明BF=2CD；
（4）通过证明△EGF的两底角相等可得EG与EF的大小关系．

解答：解：（1）∵∠ABC=45°，CE⊥AB于E，
∴∠ECB=90°-45°=45°；

（2）∵CE⊥AB，∠ABC=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形．
∴BE=CE．
在Rt△EFB和Rt△EAC中，
∵∠EBF=90°-∠BFE，∠ECA=90°-∠DFC，且∠BFE=∠DFC，
∴∠EBF=∠ECA．
又∵∠BEF=∠CEA=90°，BE=CE，
∴Rt△EFB≌Rt△EAC；

（3）∵Rt△EFB≌Rt△EAC，
∴BF=AC，
∵AB=BC，BD⊥AC，
∴AC=2CD，
∴BF=2CD；

（4）∵∠EGF=∠EBG+∠BEH，∠EFG=∠ECB+∠FBC，
又∵∠ABC=∠ECB=45°，∠ABD=∠CBD，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EG=EF．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．