Question

如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E．DF⊥AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）当∠B的度数是多少时，DE∥AB？并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接AD、OD，根据圆周角定理求出AD⊥BC，求出BD=DC，推出OD∥AC，求出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可；
（2）得出等边三角形ABC，求出∠BAC=60°，根据圆内接四边形的性质求出∠CED=60°，即可得出答案．

解答：（1）证明：连接OD、AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）解：当∠B=60°时，DE∥AB，
理由是：∵∠B=60°，AC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵A、E、D、B四点共圆，
∴∠CED=∠ABC=60°，
∴∠CED=∠CAB，
∴DE∥AB．

点评：本题考查了切线的判定，等边三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，圆内接四边形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．