Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC于F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若cosC=

3

5

，CF=9，求AE的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，AD，求出OD∥AC，推出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可；
（2）求出CD、DF，推出四边形DMEF和四边形OMEN是矩形，推出OM=EN，EM=DF=12，求出OM，即可求出答案．

解答：解：（1）连接OD，AD，
∵AB是⊙的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD
又∵OB=OA，
∴OD∥AC
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF
又∵OD为⊙的半径，
∴DF为⊙O的切线．

（2）连接BE交OD于M，过O作ON⊥AE于N，
则AE=2NE，
∵cosC=

3

5

，CF=9，
∴DC=15，
∴DF=

152-92

=12，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
∵DF⊥AC，OD⊥DF，
∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°，
∴四边形DMEF是矩形，
∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF，
即OD⊥BE，
同理四边形OMEN是矩形，
∴OM=EN，
∵OD为半径，
∴BE=2EM=24，
∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，
∴△CFD∽△CEB，
∴

DF

BE

=

CF

CE

，
∴

12

24

=

9

9+EF

，
∴EF=9=DM，
设⊙O的半径为R，
则在Rt△EMO中，由勾股定理得：R²=12²+（R-9）²，
解得：R=

225

18

，
则EN=OM=

225

18

-9=

63

18

=

7

2

，
∴AE=2EN=7．

点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定，切线的判定，平行线的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．