Question

阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
（3）若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．

Answer 1

分析：（1）类似“友好矩形”的定义，即可写出“友好平行四边形”的定义：
如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”；
（2）根据定义，则分别让直角三角形的直角边或斜边当矩形的一边，过第三个顶点作它的对边，从而画出矩形．根据每个矩形和直角三角形的面积的关系，比较两个矩形的面积大小；
（3）分别以三角形的一边当矩形的另一边，过第三个顶点作矩形的对边，从而画出矩形，根据三角形和矩形的面积公式，可知三个矩形的面积相等，设矩形的面积是S，三角形的三条边分别是a，b，c．根据矩形的面积由其中一边表示出矩形的另一边，进一步求得其周长，运用求差法比较它们的周长的大小．

解答：解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．     

（2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF．     
易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，
∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．                

（3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK，
其中的矩形ABHK的周长最小．                        

证明如下：
易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L₁，L₂，L₃，
△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c，则：
L₁=

2S

a

+2a，L₂=

2S

b

+2b，L₃=

2S

c

+2c，
∴L₁-L₂=（

2S

a

+2a）-（

2S

b

+2b）=-

2s

ab

（a-b）+2（a-b）=2（a-b）•

ab-S

ab

，
而ab＞S，a＞b，
∴L₁-L₂＞0，即L₁＞L₂，
同理可得，L₂＞L₃，
∴L₃最小，即矩形ABHK的周长最小．

点评：理解该题中的新定义，能够根据定义正确画出符合要求的图形，掌握三角形和矩形的面积公式，能够运用求差法比较数的大小．