Question

11．如图．在矩形ABCD中．AB=6．BC=8．点A在直线1上，AD与直线1相交所得的锐角为60°，点F在直线1上．AF=8．EF⊥直线1．垂足为点F．且EF=6．以EF为直径．在EF的左侧作半圆O．点M是半圆O上任一点．
发现：AM的最小值为$\sqrt{73}$-3，AM的最大值为10，OB与直线1的位置关系是OB∥1，矩形ABCD保持不动．半圆O沿直线1向左平移．设平移距离为x．
思考：点E落在AD边上时．求半圆与矩形重合部分的周长：
探究：（1）在平移动过程中．当半圆O与矩形ABCD的边相切时．求x的值：
（2）平移过程中．当半圆O与矩形ABCD的边有两个交点时．直接写出x的取值范围．

Answer 1

分析 发现：先依据勾股定理求得AO的长，然后由圆的性质可得到OM=3，当点M在AO上时，AM有最小值，当点M与点E重合时，AM有最大值，然后过点B作BG⊥l，垂足为G，接下来求得BG的长，从而可证明四边形OBGF为平行四边形，于是可得到OB与直线1的位置关系．
思考：连结OG，过点O作OH⊥EG，依据垂径定理可知GE=2HE，然后在△EOH中，依据特殊锐角三角函数值可求得HE的长，从而得到EG的长，接下来求得∠EOG得度数，依据弧长公式可求得弧EG的长；
探究：（1）如图3所示，连结OH，OA．先证明AO为∠DAF的角平分线，则∠OAF=30°，利用特殊锐角三角函数值可求得AF的长，从而可求得x的值；如图4所示：连结OH，OA，如图5所示：延长CB交FA与G，连结OH，OG，同理可求得x的值；（2）由（1）中相切的时x的值，并结合图形可得到半圆O与矩形ABCD的边有两个交点是x的取值范围．

解答 解：发现：由题意可知OM=OF=3，AF=8，EF⊥l，
∴OA=$\sqrt{A{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$．
当点M在线段OA上时，AM有最小值，最小值为=$\sqrt{73}$-3．
当点M与点E重合时，AM有最大值，最大值=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=10．
如图1所示：过点B作BG⊥l，垂足为G．

∵∠DAF=60°，∠BAD=90°，
∴∠BAG=30°．
∴GB=$\frac{1}{2}$AB=3．
∴OF=BG=3，
又∵GB∥OF，
∴四边形OBGF为平行四边形，
∴OB∥FG，即OB∥l．
故答案为：$\sqrt{73}$-3；10；平行．
思考：如图2所示：连结OG，过点O作OH⊥EG．

∵∠DAF=60°，EF⊥AF，
∴∠AEF=30°．
∴∠GOE=120°．
∴GE=2EH=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×3=3$\sqrt{3}$．
弧EG的长=$\frac{120π×3}{180}$=2π．
∴半圆与矩形重合部分的周长=3$\sqrt{3}$+2π．
探究：（1）如图3所示，连结OH，OA．

∵AD为圆O的切线，H为切点，
∴OH⊥AD．
又∵OF⊥AF，OH=OF，
∴AO为∠DAF的角平分线，
∴∠OAF=30°．
∴AF=$\sqrt{3}$OF=3$\sqrt{3}$．
∴x=8-3$\sqrt{3}$．
如图4所示：连结OH，OA．

∵AH、AF均为圆O的切线，
∴OA为∠HAF的角平分线，
∴∠OAF=75°．
∴$\frac{AF}{OF}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，即AF=6-3$\sqrt{3}$．
x=8-（6-3$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$+2．
如图5所示：延长CB交FA与G，连结OH，OG．

∵BC、FG为圆O的切线，
∴OG平分∠HGF，
∴∠OGF=30°．
∴AG=6÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，FG=3$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$．
∴x=8+$\sqrt{3}$．
综上所述，当x的值为8-3$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$+2或8+$\sqrt{3}$时，半圆O与矩形ABCD的边相切．
（2）由（1）可知当8-3$\sqrt{3}$＜x＜3$\sqrt{3}$+2时，或8＜x＜8+$\sqrt{3}$时，半圆O与矩形ABCD的边有两个交点．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了切线的性质和判定、特殊锐角三角函数值的应用、切线长定理，依据题意画出符合题意的图形是解题的关键．