Question

14．在?ABCD中，AC=AB，E为BC边上一点，F为CD边上一点，且∠AEF=∠BAC．
①如图1，当∠B=60°时，写出AB，CE，CF之间的数量关系，并证明；
②如图2，当∠B=45°时，连接AF，若AF=10，CE：BE=1：7，求证△ECF的面积？

Answer 1

分析 ①结论：AC=CE+CF，如图1，连接AC、AF，在射线CA上截取CG=CF，连接GF，作WM∥AB，先证明∠2=∠5得到四边形AECF四点共圆，然后证明△AEF是等边三角形，再根据△AFG≌△EFC即可证明．
②如图2，连接AC、AF，在射线CA上截取CG=CF，连接GF，作FM⊥BC垂足为M，先证明△AEF是等腰直角三角形，设EC=a，由△AFG∽△EFC得$\frac{AG}{EC}=\frac{AF}{EF}=\sqrt{2}$，在RT△ACF中利用勾股定理求出a，再利用三角形面积公式计算即可．

解答 ①结论AB=CE+CF，理由如下：
证明：如图1中，连接AC、AF，在射线CA上截取CG=CF，连接GF．，作WM∥AB，
∵AC=AB，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=CD=AB=AC，AB∥CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACB=∠ACF=60°，
∵AB∥EM，AB∥CD，
∴AB∥EM∥DC，
∴∠3=∠4，∠1=∠2，
∴∠AEF=∠4+∠2，
∵∠AEF=∠BAC=∠4+∠5，
∴∠5=∠2，
∴A、E、C、F四点共圆，
∴∠AEF=∠ACD=60°，∠AFE=∠ACE=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴FA=FE，
∵CG=CF，∠GCF=60°，
∴△GCF是等边三角形，
∴GF=FC=GC，∠GFC=60°，
∵∠AFE=∠GFC=60°，
∴∠2=∠AFG，
在△AFG和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=FE}\\{∠AFG=∠2}\\{FG=FC}\end{array}\right.$，
∴△AFG≌△EFC，
∴AG=EC，
∴AB=AC=AG+GC=EC+CF．
②如图2中，连接AC、AF，在射线CA上截取CG=CF，连接GF．，作FM⊥BC垂足为M，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∠BAC=∠AEF=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，∠FCM=∠B=45°，
∵∠FMC=90°，
∴∠FCM=∠CFM=45°，
∴MF=MC，
由（1）可知，AECF四点共圆，
∴∠AFE=∠ACE=45°，
∴∠EAF=∠EFA=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$EF，
∵△CGF是等腰直角三角形，
∴GF=$\sqrt{2}$FC，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{FG}{FC}$=$\sqrt{2}$，
∵∠AFE=∠GFC，
∴∠AFG=∠EFC，
∴△AFG∽△EFC，
∴$\frac{AG}{EC}=\frac{AF}{EF}=\sqrt{2}$，
∴AC=AG+GC=$\sqrt{2}$EC+CF，
∵CE：BE=1：7，
∴可以假设EC=a，BE=7a，则BC=8a，AC=4$\sqrt{2}$a，FC=3$\sqrt{2}$a，
在RT△AFC中，∵AF²=AC²+CF²，
∴10²=（4$\sqrt{2}$a）²+（3$\sqrt{2}$a）²，
∵a＞0，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴FC=3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=6，
在RT△FCM中，∵FC=6，∠FCM=45°，
∴FM=3$\sqrt{2}$，
∴S_△FEC=$\frac{1}{2}$•CE•FM=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{2}$$•3\sqrt{2}$=3．

点评 本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键．