Question

13．如图，一抛物线过原点和点A（1，$\sqrt{3}$），△AOB的面积为$\sqrt{3}$．
（1）求过点A、O、B的抛物线解析式．
（2）在（1）中抛物线的对称轴上找到一点M，使△AOM的周长最小．
①点M的坐标是（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
②求△AOM周长的最小值．
（3）点F为x轴上一动点，过点F作x轴的垂线，交直线AB于点E，交抛物线于点P，是否存在点F，使线段PE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过A作AC⊥x轴于点C，由△AOB的面积可求得BO的长，可求得B点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）①设AB于对称轴交于点M，则M点即为满足条件的点，可求得直线AB的解析式，可求得M坐标；②由勾股定理可求得AB、AO的长，则可求得△AOM的周长的最小值；
（3）可设F点坐标为（x，0），可表示出E、P的坐标，则可用x表示出PE的长，可求得x的值，可求出F的坐标．

解答 解：
（1）过A作AC⊥x轴于点C，如图1，

∵A（1，$\sqrt{3}$），
∴AC=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$BO•AC=$\frac{1}{2}$BO×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴BO=2，
∴B（-2，0），
由题意可设抛物线解析式为y=ax²+bx，
把A、B坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\sqrt{3}}\\{4a-2b=0}\end{array}\right.$，可解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x；
（2）由（1）可求得抛物线的对称轴为x=-1，
设AB交对称轴于点M，如图2，

∵B、O关于对称轴对称，
∴MO=MB，
∴M点即为所求，
①设直线AB解析式为y=kx+b，
把A、B坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=\sqrt{3}}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当x=-1时，y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴M坐标为（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故答案为：（-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
②由勾股定理可求得AB=$\sqrt{[1-（-2）]^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，AO=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴△AOM周长的最小值为AM+MO+AO=AB+AO=2$\sqrt{3}$+2；
（3）假设存在满足条件的点F，设其坐标为（x，0），
则E（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），P（x，$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x），如图3，

则PE=PF-EF=|（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x）-（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）|=|$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|，
若PE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则|$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，解得x=0或x=1，当x=0时，P点和F点重合，满足条件；
当x=1时，此时P、E重合，不满足条件，
∴此时F为（0，0），
∴存在满足条件的F点，其坐标为（0，0）．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法求函数解析式、轴对称性质的应用、勾股定理和函数图象的交点等．在（1）中求得B点的坐标是解题的关键，在（2）中确定出M点的位置是解题的关键，在（3）中设出点F的坐标表示出PE的长是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大．