Question

18．边长为a的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中AB与x轴平行（点B在点A的右侧），点A的坐标为（2，1），反比例函数y=$\frac{m}{x}$经过点C，直线l：y=kx-2（k≠0）与y轴交于点E．
（1）当a=2时，试完成下面的问题：
①求反比例函数的解析式；
②当直线l把正方形ABCD分为面积相等的两部分时，求k的值；
（2）若k=2，当直线l与正方形ABCD的边CD能相交（设交点为F），且DF不超过3时，直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①先求出点C的坐标，用待定系数法即可得出结论；
②先根据正方形的性质，判断出直线l必过正方形的中心，再求出正方形的中心的坐标，用待定系数法即可得出结论；
（2）先表示出点C，D的坐标，进而得出CD的解析式，联立直线l的解析式求出点F的坐标，利用点F在线段CD和DF不超过3，建立不等式求解即可．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD是边长为a的正方形，
∴AB=BC=2，
∵A（2，1），
∴B（4，1），D（2，3），
∴C（4，3），
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$经过点C，
∴m=4×3=12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$；

②∵当直线l把正方形ABCD分为面积相等的两部分时，
∴直线l必过正方形ABCD的中心，
即：直线l过正方形ABCD的对角线BD的中点M（记：BD的中点为M），
由（1）知，B（4，1），D（2，3），
∴M（3，2），
∵直线l的解析式为y=kx-2，
∴2=3k-2，
∴k=$\frac{4}{3}$；

（2）∵正方形ABCD的边长为a，A（2，1），
∴B（a+2，1），D（2，a+1），
∴C（a+2，a+1），
∴直线CD的解析式为y=a+1①，
∵k=2，
∴直线l的解析式为y=2x-2②，
联立①②得，x=$\frac{1}{2}$（a-1），y=a+1，
∵F（$\frac{1}{2}$（a-1），（a+1）），
∵点F在边CD上，
∴2≤$\frac{1}{2}$（a-1）≤a+2，
∴a≥5，
∵D（2，a+1），F（$\frac{1}{2}$（a-1），（a+1）），
∴DF=$\frac{1}{2}$（a-1）-2=$\frac{1}{2}$a-$\frac{5}{2}$，
∵DF不超过3，
∴$\frac{1}{2}$a-$\frac{5}{2}$≤3，
∴a≤11，
∴5≤a≤11．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，正方形的性质，解方程组，不等式，解（1）的关键是求出点C的坐标和，掌握正方形的性质，解（2）的关键是确定出点F的坐标，用方程或不等式的思想解决本题的难点，是一道中等难度的题目．