Question

8．如图1，已知抛物线C₁：y=a₁x²+b₁x+c₁和C₂：y=a₂x²+b₂x+c₂都经过原点，顶点分别为A、B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C₁和C₂为“姐妹抛物线”．
（1）判断抛物线C₁：y=-x²+2x与C₂：y=x²+2x是否为“姐妹抛物线”？并说明理由．
（2）求抛物线C₁：y=-3x²-4x的“姐妹抛物线”C₂．
（3）顺次连接A、N、B、M（如图2），若四边形ANBM恰好是矩形，请写出这对“姐妹抛物线”的表达式（写出一对即可）．

Answer 1

分析 （1）根据姐妹抛物线的定义，可得答案；
（2）姐妹抛物线的定义，可得C₂的顶点，C₂余x轴的另一个交点，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据二次函数的性质、矩形的性质，可得A，M点坐标，根据待定系数法，可得答案；再根据姐妹抛物线的定义，可得答案．

解答 解：（1）在抛物线C1：y=-x²+2x中，顶点A（1，1），与x轴的另一个交点M（2，0）；
在抛物线C2：y=x+2x中，顶点B（-1，-1），与x轴的另一个交点N（-2，0）；
∴A与B，M与N都关于原点O成中心对称，
∴抛物线C1：y=-x2+2x和C2：y=x2+2x是“姐妹抛物线”．
（2）抛物线C1：y=-3x²-4x的顶点A（-$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$），与x轴的另一个交点M（-$\frac{4}{3}$，0），
∴抛物线C2的顶点B（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{3}$），与x轴的另一个交点N（$\frac{4}{3}$，0），
∴设抛物线C2为y=a（x-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$，将N（$\frac{4}{3}$，0）代入，得a（$\frac{4}{3}$-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$=0，解之，得a=3，
∴C2：y=3（x-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{4}{3}$=3x²-4x．
（3）根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，
∵OA=MA，
∴△AOM是等边三角形，
设C₁y=ax²+bx，
OM=2，则点A（1，$\sqrt{3}$），M（2，0），代入，得$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\sqrt{3}}\\{4a+2b=0}\end{array}\right.$，解之，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
此时抛物线C1的表达式为y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，
C2的表达式为y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x，
故答案为y=-$\sqrt{3}$x²2+2$\sqrt{3}$x，y=$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用姐妹抛物线的定义；解（2）的关键是利用姐妹抛物线的定义得出点B（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{3}$），与x轴的另一个交点N（$\frac{4}{3}$，0），又利用了待定系数法；解（3）的关键是利用矩形的性质，二次函数的性质得出A，M的坐标，又利用了姐妹抛物线的定义．