Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanB=$\frac{4}{3}$，CD=2，求△ABD的周长．

Answer 1

分析 先解Rt△ABC，由∠C=90°，tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，AB=10，利用勾股定理可得AC=8，BC=6．再解Rt△ADC，利用勾股定理求出AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，进而得到△ABD的周长=AB+BD+AD=14+2$\sqrt{17}$．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴可设AC=4k，则BC=3k，
由勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{（4k）^{2}+（3k）^{2}}$=5k，
∵AB=10，
∴5k=10，k=2，
∴AC=8，BC=6．
∵在Rt△ADC中，∠C=90°，AC=8，CD=2，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{17}$．
∵BC=6，CD=2，
∴BD=BC-CD=6-2=4，
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=10+4+2$\sqrt{17}$=14+2$\sqrt{17}$．

点评 本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，三角形的周长，求出AC=8，BC=6是解题的关键．