Question

已知：如图，点B在y轴的负半轴上，点A在x轴的正半轴上，且OA=2，∠OAB=2。

（1）求点B的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若点C的坐标为（-2,0），在直线AB上是否存在一点P，使ΔAPC与ΔAOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）B(0,-4)（2）直线AB的解析式为y=2x-4（3）存在点P₁(-2,-8)， P₂(,-)，使ΔAPC与ΔAOB相似。

试题分析：解：（1）在Rt△ABC中，
∠OAB=
∵OA=2，∠OAB=2
∴OB=4
∵点B在y轴的负半轴上
∴B(0,-4)
(2) ∵OA=2     ∴A(2,0)
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)
则∴
∴直线AB的解析式为y=2x-4
（3）过C作P₁C∥OB交AB于P₁

这时ΔAPC与ΔAOB相似
当x=-2时，y=-8
∴P₁(-2,-8)
过C作P₂CAB交AB于P₂,过P₂作P₁DAC于D
由ΔAOB∽ΔACP₂,求出AP₂=
由ΔAOB∽ΔADP₂,求出AD=∴OD=,
当x=时，y=-
∴P₁(,-)
存在点P₁(-2,-8)， P₂(,-)，使ΔAPC与ΔAOB相似
点评：本题难度较大。主要考查学生对坐标轴，解析式，三角函数值，证相似三角形等知识点的结合运用。一次函数直线解析式一般式为。求直线解析式时需要具备2个已知点坐标，为解题关键。题（3）中求证点P是否存在使两三角形相似。通过证相似三角形的判定定理我们可知必然需要得到两三角形对应角相等或者对应边比值相等的条件才能证相似。那么假设存在该点P使形成的三角形与已知的直角三角形相似，通过做辅助垂线，构成两组对应角相等是解题关键，然后得到两个P点，并通过点P在直线AB上，用直线AB解析式求出点P坐标。