Question

已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2-abx+

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(a+b)=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．

Answer 1

分析：不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x₁，x₂（x₁≤x₂），而a，b都是正整数，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=ab＞0，x₁x₂=

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（a+b）＞0，则如果原方程存在两整数根，则两根必为正整数．当a，b 中至少有一个等于1时，a+b≥ab；不妨设a=1，此时有

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（a+b）=

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（1+b）≤b=ab （当且仅当b=1时等号成立），其余情况下都有

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（a+b）＜a+b≤ab；则有（x₁-1）（x₂-1）≤1，得到x₁=1，x₂=

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（a+b），则（a-1）（b-1）=3-ab，根据整数的性质得到a=1，b=3，或a=3，b=1．即得到x₂=2．

解答：解：关于x的方程x2-abx+

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(a+b)=0有两个整数解．
不妨设a≤b，且方程的两个整数根为x₁，x₂（x₁≤x₂），而a，b都是正整数，
∴x₁+x₂=ab＞0，x₁x₂=

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（a+b）＞0，
∴如果原方程存在两整数根，则两根必为正整数．
当a，b 中至少有一个等于1时，a+b≥ab；
不妨设a=1，此时有

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（a+b）=

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（1+b）≤b=ab （当且仅当b=1时等号成立），
其余情况下都有

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（a+b）＜a+b≤ab；
∴x₁x₂≤x₁+x₂，
∴x₁x₂-x₁-x₂+1≤1，
∴（x₁-1）（x₂-1）≤1，
∴x₁=1，
∴x₂=

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（a+b），
∴1+

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（a+b）=ab，即2+a+b=2ab，
∴（a-1）（b-1）=3-ab，而a，b都是正整数，
∴3-ab≥0，
所以a=1，b=3，或a=3，b=1．
∴x₂=2，
∴a=1，b=3，一元二次方程为x²-3x+2=0，它的两个根为x₁=1，x₂=2．

点评：本题考查了求一元二次方程的整数根的方法：利用根与系数的关系消去未知系数，得到两整数根的关系，然后利用整数的性质求出两整数根．