Question

19．如图，五边形DEFGH是边长为2的正五边形，⊙O是正五边形DEFGH的外接圆，过点D作⊙D的切线，与GH、FE的延长线交分别于点B和C，延长HG、EF相交于点A，那么AB的长度是2+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 先证明AG=AF，由SSS得到△OHD与△OED全等，得出∠ODH=∠ODE=54°，证出∠B=∠C=72°，利用SSS得到△GBD与△AGF全等，得出GB=AG，即G为AB的中点，求出HD，GH，BD的长，设GB=xcm，由△DHB∽△GBD，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，求出x的值，即可得出结果．

解答 解：∵五边形DEFGH是正五边形，
∴∠HDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHD=108°，
∴∠BHD=∠CED=∠AGF=∠AFG=72°，
∴AG=AF，
同理：AF=CF，
同理：AF=CF，
∴GF=$\frac{1}{2}$BC，
∴△AGF是等腰三角形；
连接DG，如图所示：
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∴∠BFO=∠CFO=90°，
在△OHD与△OED中，
$\left\{\begin{array}{l}{OH=OD}&{\;}\\{OD=OE}&{\;}\\{HD=HE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OHD≌△OED（SSS），
∴∠ODH=∠ODE=54°，
∴∠HDB=∠EDC=36°，
∴∠B=∠C=72°，
∴BD=DH=DE=DC=GF，
在△GBD和△AGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=GB}&{\;}\\{GF=BD}&{\;}\\{DG=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GBD≌△AGF（SSS），
∴GB=AG，
∴点G是线段AB的中点；
∵五边形DEFGH是正五边形，
∴BD=DH=GH=2，
设GB=x，
∵∠BDH=∠BGD，∠B=∠B，
∴△DHB∽△GBD，
∴$\frac{DH}{GB}=\frac{BH}{BD}$，即$\frac{2}{x}$=$\frac{x-2}{2}$，
整理得：x²-2x-4=0，
解得：x=1±$\sqrt{5}$（负值舍去），
∴AG=GB=1+$\sqrt{5}$，
∴AB=2+2$\sqrt{5}$；
故答案为：2+2$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了正五边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，切线的性质；熟练掌握正五边形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．