Question

9．如图，正方形ABCD中，M，N分别是DC、AB的中点，沿过点A的直线折叠，使点B落在MN上，落点为B′，折痕交BC于点E，交MN于点F，再把这个正方形展开，若B′F=3cm，则AB=3$\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 根据折叠的性质得到AB′=AB，在Rt△BNF中，根据三角函数的定义得到sin∠AB′N=$\frac{AN}{AB′}$=$\frac{1}{2}$，求得∠BNF=30°，根据平行线的性质得到∠DAB′=30°，∠B′AN=60°，根据直角三角形的性质得到FN=$\frac{1}{2}$AF，设FN=x，则AN=$\sqrt{3}$x，AF=B′F=2x=3，解直角三角形得到AN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，于是得到结论．

解答 解：∵△AB′E是由△ABE翻折得到的，
∴AB′=AB，又点N为AB的中点，
在Rt△BNF中，sin∠AB′N=$\frac{AN}{AB′}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠BNF=30°，
∵MN∥AD，
∴∠DAB′=30°，∠B′AN=60°，
∴∠B′AE=∠BAE=30°，
∴∠AB′F=∠B′AF，
∴AF=B′F，
∴FN=$\frac{1}{2}$AF，
设FN=x，则AN=$\sqrt{3}$x，AF=B′F=2x=3，
解得：x=$\frac{3}{2}$，
∴AN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴AB=2AN=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，难点在于利用勾股定理列出方程．