Question

11．已知∠AOB=120°，射线OC、OD在∠AOB内部，∠COD=40°．

（1）如图1，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（2）如图2，若OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；
（3）在（2）的条件下，若∠DON与∠BON的度数比为1：5，求∠AOC与∠DOM的度数比．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（3）根据已知条件列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON
=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOD+∠COD
=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOD+$\frac{1}{2}$∠COD+$\frac{1}{2}$∠COD
=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD+∠COD）+$\frac{1}{2}$∠COD
=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠COD
∵∠AOB=120°，∠COD=40°，
∴∠MON=60°+20°=80°．

（2）∵OM平分∠AOD，ON平分∠BOC，
∴∠AOD=2∠DOM、∠BOC=2∠NOC，
又∵∠AOB=∠AOD+∠BOC-∠COD，
∴∠AOB=2∠DOM+2∠NOC-∠COD，
即∠AOB=2（∠DOM+∠NOC）-∠COD，
∵∠AOB=120°、∠COD=40°，
∴∠DOM+∠NOC=80°，
则∠MON=∠DOM+∠NOC-∠COD=40°；
（3）∵∠DON与∠BON的度数比为1：5，
∴设∠DON=α，∠BON=5α，
∴∠CON=∠BON=5α，
∴∠COD=4α=40°，
∴α=10°，
∴∠DON=10°，
∵∠MON=∠COD=40°，
∴∠COM=∠DON=10°，
∴∠DOM=∠MON-∠DON=30°，
∴∠AOM=∠DOM=30°，
∴∠AOC=20°．

点评 本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．