Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，AD=4cm，∠D=45°，BC=3cm．

（1）求cos∠B的值；
（2）点E为BC延长线上的动点，点F在线段CD上（点F与点C不重合），且满足∠AFC=∠ADE，如图，设BE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）点E为射线BC上的动点，点F在射线CD上，仍然满足∠AFC=∠ADE，当△AFD的面积为2cm²时，求BE的长．

Answer 1

分析：（1）要求cos∠B的值，由条件知道△ACB是直角三角形，然后 根据余弦定义就可以求出．
（2）要求函数的解析式，需要运用∠AFC=∠ADE 寻找相似三角形，利用线段比来代换y与x之间的关系，找三角形相似是关键．
（3）要求BE的长，点E存在两种情况，再运用（2）的相似结论，根据相似三角形的面积比得关系就可以求出BE的长．

解答：解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC．
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°．
∴∠DAC=90°．
∵∠D=45°，
∴∠ACD=45°．
∴AD=AC．
∵AD=4cm，
∴AC=4cm．
∵BC=3cm，
∴AB=

AC2+BC2

=5cm．
∴cos∠B=

BC

AB

=

3

5

．

（2）∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DCE．     
∵∠AFC=∠FDA+∠FAD，∠ADE=∠FDA+∠EDC，
又∠AFC=∠ADE，
∴∠FAD=∠EDC．
∴△ADF∽△DCE．
∴

AD

DC

=

DF

CE

．
在Rt△ADC中，DC²=AD²+AC²，
∵AD=AC=4cm，
∴DC=4

2

cm．
∵BE=x，
∴CE=x-3．
又∵DF=y，
∴

4

4 2

=

y

x-3

．
∴y=

2

2

x-

3 2

2

．
定义域为3＜x＜11．

（3）当点E在BC的延长线上，由（2）可得：△ADF∽△DCE，
∴

S△ADF

S△DCE

=(

AD

DC

)2
∵S_△AFD=2，AD=4，DC=4

2

，
∴S_△DCE=4．
∵S△DCE=

1

2

×CE×AC，
∴

1

2

×(BE-3)×4=4，
∴BE=5．
如图2，当点E在线段BC上，
由（2）△ADF∽△DCE，
∴

S△ADF

S△DCE

=(

AD

DC

)2
∵S_△AFD=2，AD=4，DC=4

2

，
∴S_△DCE=4．
∴S_△DCE=

1

2

×(3-BE)×4=4．
∴BE=1．
所以BE的长为5或1．

点评：本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理、梯形、等腰三角形的性质及解直角三角形的多个知识点．