Question

【题目】综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点在轴上，其坐标为，抛物线经过点为第三象限内抛物线上一动点.

求该抛物线的解析式.

连接，过点作轴交于点，当的周长最大时，求点的坐标和周长的最大值.

若点为轴上一动点，点为平面直角坐标系内一点.当点构成菱形时，请直接写出点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）P(2,)；（3）点的坐标为或或或.

【解析】

⑴ 代入A、B点坐标得出抛物线的交点式y=a（x+4）（x-2），然后代入C点坐标即可求出；

⑵ 首先根据勾股定理可以求出AC=5，通过PE∥y轴，得到△PED∽△AOC，PD:AO=DE:OC=PE:AC,得到PD:4=DE:3=PE:5，PD,DE分别用PE表示，可得△PDE的周长=PE，要使△PDE周长最大，PE取最大值即可；设P点的横坐标a，那么纵坐标为a2+a-3，根据E点在AC所在的直线上，求出解析式，那么E点的横坐标a，纵坐标-a-3，从而求出PE含a的二次函数式，求出PE最大值，进而求出P点坐标及△PDE周长.

⑶ 分类讨论

① 当BM为对角线时点F在y轴上，根据对称性得到点F的坐标.

② 当BM为边时，BC也为边时，求出BC长直接可以写出F点坐标，分别是点M在轴负半轴上时，点F的坐标为;点M在轴正半轴上时，点F的坐标为.

③ 当BM为边时，BC也为对角线时，首先求出BC所在直线的解析式

，然后求出BC中点的坐标，MF所在直线也经过这点并且与BC所在的直线垂直，所以可以求出MF所在直线的解析式，可以求出M点坐标，求出F点的横坐标，代入MF解析式求出纵坐标，得到F

解：抛物线经过点，它们的坐标分别为，

故设其解析式为.

又抛物线经过点，代入解得，

则抛物线的解析式为.

，

.

.

又轴，，

∴△PDE∽△AOC.

，即，

∴的周长

则要使周长最大，取最大值即可.

易得所在直线的解析式为.

设点，

则，

当时，取得最大值，最大值为，则.

点的坐标为或或或

提示：具体分情况进行讨论，如图.

① 为对角线时，显然，点在轴上，根据对称性得到点的坐标为;

②当为边时，，则有以下几种情况：

(I)为边时，

点在轴负半轴上时，点的坐标为;

点在轴正半轴上时，点的坐标为.

(I) 为对角线时，

根据点，点可得所在直线的解析式为

中点的坐标为

则MF所在的直线过线段的中点，并垂直于，得到其解析式为.

交轴于点，则点的横坐标为，代入的解析式得到，

故点的坐标为，

综上所述，点的坐标为或或或