Question

如图所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C、A（1，1）、B（3，1）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜4），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．
（1）求经过O、A、B三点的抛物线解析式；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx，把已知坐标代入求出抛物线的解析式．
（2）求出S的面积，根据t的取值不同分三种情况讨论S与t的函数关系式．
（3）根据旋转的性质，代入解析式，判断是否存在．

解答：解：（1）方法一：由图象可知：抛物线经过原点，
设抛物线解析式为y=ax²+bx（a≠0）．
把A（1，1），B（3，1）代入上式得：（1分）

1=a+b 1=9a+3b

，
解得

a=- 1 3 b= 4 3

．（3分）
∴所求抛物线解析式为y=-

1

3

x²+

4

3

x．（4分）
方法二：∵A（1，1），B（3，1），
∴抛物线的对称轴是直线x=2．
设抛物线解析式为y=a（x-2）²+h（a≠0）（1分）
把O（0，0），A（1，1）代入
得

0=a(0-2)2+h 1=a(1-2)2+h

，
解得

a=- 1 3 h= 4 3

，（3分）
∴所求抛物线解析式为y=-

1

3

（x-2）²+

4

3

．（4分）

（2）分三种情况：
①当0＜t≤2，重叠部分的面积是S_△OPQ，过点A作AF⊥x轴于点F，
∵A（1，1），
∴在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，
∴PQ=OQ=tcos 45°=

2

2

t．S=

1

2

(

2

2

t)2=

1

4

t²，（6分）
②当2＜t≤3，设PQ交AB于点G，作GH⊥x轴于点H，∠OPQ=∠QOP=45°，
则四边形OAGP是等腰梯形，重叠部分的面积是S_梯形OAGP．
∴AG=FH=t-2，
∴S=

1

2

（AG+OP）AF=

1

2

（t+t-2）×1=t-1．（8分）
③当3＜t＜4，设PQ与AB交于点M，交BC于点N，重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}．
因为△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，
所以重叠部分的面积是S_{五边形OAMNC}=S_梯形OABC-S_△BMN．
∵B（3，1），OP=t，
∴PC=CN=t-3，
∴S=

1

2

（2+3）×1-

1

2

（4-t）²，
S=-

1

2

t²+4t-

11

2

．（10分）

（3）存在．
当O点在抛物线上时，将O（t，t）代入抛物线解析式，解得t=0（舍去），t=1；
当Q点在抛物线上时，Q（

3

2

t，

1

2

t）代入抛物线解析式得t=0（舍去），t=2．
故t=1或2．

点评：本题是一道典型的综合题，重点考查了二次函数的有关知识以及考生理解图形的能力，难度较大．