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已知:a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边(a>b).二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的图象的顶点在x轴上,且sinA、sinB是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个根.
(1)判断△ABC的形状,关说明理由;
(2)求m的值;
(3)若这个三角形的外接圆面积为25π,求△ABC的内接正方形(四个顶点都在三角形三边上)的边长.
【答案】分析:(1)先由二次函数y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2的图象的顶点在x轴上,得到判别式△=0,进而得到a2+b2=c2,再根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形;
(2)先利用互余两角三角函数之间的关系得到sinB=cosA,再根据一元二次方程根与系数的关系得到,然后利用同角三角函数之间的关系求得m的值;
(3)先由圆的面积公式求出△ABC的外接圆半径R=5,则斜边c=10,再将m=20代入方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0,
得到25x2-35x+12=0,解方程求出x的值,进而求得a=8,b=6.当正方形的四个顶点都在△ABC的三边上时,分两种情况进行讨论:①如图1,正方形CDEF有两条边在△ABC的直角边上;②如图2,正方形DEFG有一条边在△ABC的斜边上.
解答:解:(1)△ABC是直角三角形,理由如下:
将y=(x-2a)x-2b(x-a)+c2化简,整理得:y=x2-2(a+b)x+2ab+c2
∵此函数图象的顶点在x轴上,
=0,
整理,得a2+b2=c2
∴△ABC是直角三角形;

(2)∵△ABC是直角三角形,∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∴sinB=cosA,
∴sinA、cosA是关于x的方程(m+5)x2-(2m-5)x+m-8=0的两个根,

又∵sin2A+cos2A=1,
∴(sinA+cosA)2-2sinA•cosA=1,
∴(2-2×=1,
整理,得m2-24m+80=0,
解得m1=20,m2=4.
经检验,m1=20,m2=4都是原方程的根,
但是,当m1=20时,sinA+cosA>0,sinA•cosA>0,
当m2=4时,sinA+cosA>0,sinA•cosA<0,舍去,
∴m=20;

(3)∵△ABC的外接圆面积为25π,
∴外接圆半径R=5,
∴斜边c=10.
当m=20时,原方程变为25x2-35x+12=0,
解得x1=,x2=
∴a=8,b=6.
设正方形的边长为x.
图1中,由EF:BC=AF:AC,得x:8=(6-x):6,
解得x=
图2中,CH=
CK:CH=DG:AB,(-x):=x:10,
解得x=
综上可知,△ABC的内接正方形(四个顶点都在三角形三边上)的边长为
点评:本题考查了二次函数的性质,勾股定理的逆定理,互余两角、同角的三角函数之间的关系,一元二次方程根与系数的关系,相似三角形的判定与性质等知识,综合性较强,有一定难度.
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