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    如图1，在同一平面内，Rt△ABC≌Rt△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3，AC=DF=4，AC与DF重合，△ABC始终保持不动．
    （1）将△DEF沿CB（EB）方向平移，直到点E与点B重合为止，设平移的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
    （2）如图2，将△DEF绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△D′E′F，设D′E′与AC交于点M，当∠ECE′=∠EAC时，求线段CM的长；
    （3）如图3，在△DEF绕点C逆时针旋转的过程中，若设D′F所在直线与AB所在直线的交点为N，是否存在点N使△ACN为等腰三角形，若存在，求出线段BN的长，若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）画出图形，分0≤x≤3和3＜x≤6两种情况讨论，①0≤x≤3时，构造梯形JFCH和梯形HGCI，利用相似三角形的性质，表示出HG、JF的长，再根据梯形面积公式求解；②当3＜x≤6时，构造等腰三角形HBG，利用相似三角形的性质，表示出HG的长，再根据三角形面积公式求解；
    （2）由旋转的性质得到△DEF≌△DE′F′，从而得到∠ACE′=∠E′，进而得到CM=ME′，CM=ME′，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出C M=ME′=；
    （3）分三种情况进行讨论：①若AN=NC，则点N是AC的中垂线与AB的交点；②若AN=AC，则点N是以A为圆心、AC为半径的圆与AB的交点；③若AC=NC，则点N是以C为圆心、AC为半径的圆与AB的交点．
    解答：解：（1）当0≤x≤3时，如图①，作HG⊥FC，
    则=，
    即=，
    JF=4-x．
    又有，=，
    即=，
    HG=4-x，
    则S梯形JFGH=（4-x+4-x），
    即y=2S梯形JFGH=-x2+4x，
    当3＜x≤6时，如图②，作HG⊥BE于G，
    则=，
    即=，
    HG=4-x，
    则y=（6-x）（4-x），
    ．

    （2）在Rt△DEF中，∠DFE=90°，
    ∴∠ECE′+∠ACE′=90°，∠EAC+∠E=90°，
    又∵∠ECE′=∠EAC，
    ∴∠ACE′=∠E，
    ∵△DEF旋转得到△DE′F′，
    ∴∠E=∠E′，DE=D′E′，
    ∴∠ACE′=∠E′，
    ∴CM=ME′，
    同理CM=MD′，
    ∴CM=ME′=MD′，
    在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，
    ∴DE=，
    ∴D′E′=DE=5，
    ∴C M=ME′=．

    （3）存在．
    ①若AN=NC，则点N是AC的中垂线与AB的交点；
    在Rt△ABC中，∠ACB=90°
    ∴∠BAC+∠B=90°，∠ACN+∠BCN=90°，
    又∵AN=NC，
    ∴∠BAC=∠ACN，
    ∴∠B=∠BCN，
    ∴BN=NC，
    又∵AN=NC，
    ∴BN=AN=；
    ②若AN=AC，则点N是以A为圆心、AC为半径的圆与AB的交点；
    （ⅰ）当点N在线段AB上时，
    ∵AC=4，
    ∴AN=4，
    ∵Rt△ABC≌Rt△DEF，
    ∴AB=DE=5，
    ∴BN=AB-AN=1；
    （ⅱ）当点N在线段BA的延长线上时，如答图③，
    ∵AN=AC=4，
    ∴BN=AB+AN=9．
    ③若AC=NC，则点N是以C为圆心、AC为半径的圆与AB的交点，过点C作CH⊥AB于H如图④，
    由探究得△ACH∽△ABC，
    ∴，
    ∴，
    ∵AC=NC，CH⊥AB，
    ∴AH=HN，
    ∴AN=2AH=，
    ∴BN=AN-AB=．
    综上所述，存在这样的点N，使得△ACN为等腰三角形，所求BN的长为1或9或或．
    点评：本题考查了相似形综合问题，涉及平移、旋转、勾股定理、相似三角形的性质等诸多内容，在解答（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△AFG绕点旋转，AF、AG与边BC的交点分别为点D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
    （1）请在图1中找出两对相似而不全等的三角形，并选择其中一对进行证明；
    （2）△ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC上找一点D使BD=CE，求出点D的坐标，并通过计算验证BD2+CE2=DE2；
    （3）在旋转过程中，（2）中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．
    A.2sin(α+30°)=sinα+
    		3

    B.2sin(α+30°)=2sinα+
    		3

    C.2sin(α+30°)=
    		3
    sinα+cosα
    （1）正确的选项是
     
    ；
    （2）如图1，△ABC中，AC=1，∠B=30°，∠A=α，请利用此图证明（1）中的结论；
    （3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD=8
    		2
    ，求S△ADC．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为4．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=a，CD=b．
    （1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明；
    （2）求a•b的值；
    （3）在旋转过程中，当△AFG旋转到如图2的位置时，AG与BC交于点E，AF的延长线与CB的延长线交于点D，那么a•b的值是否发生了变化？为什么？
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）观察与猜想：已知当0°＜α＜60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是
    C
    C
    （填代号）
    A．2sin（30°+α）=sinα+
    		3
       
    B．2sin（30°+α）=2sinα+
    		3

    C．2sin（30°+α）=
    		3
    sinα+cosα．
    （2）探究与证明：如图1，△ABC中，∠A=α，∠B=30°，AC=1，请利用图1证明（1）中你猜想的结论；
    （3）应用新知识解决问题：
    两块分别含有45°和30°的直角三角板如图2方式摆放在同一平面内，BD=8
    		2
    ，求S△ABC．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，在同一平面内，四条线AB、BC、CD、DA首尾顺次相接，AD、BC相交于点O，AM、CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∠B=α，∠D=β．
    （1）如图2，AM、CN相交于点P．
    ①当α=β时，判断∠APC与α的大小关系，并说明理由．
    ②当α＞β时，请直接写出∠APC与α，β的数量关系．
    （2）是否存在AM∥CN的情况？若存在，请判断并说明α，β的数量关系；若不存在，请说明理由．

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