Question

已知：抛物线y=x²-bx与x轴正半轴相交于点A，点B（m，-3）为抛物线上一点，△OAB的面积等于6．
（1）求该抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）设C点为该抛物线的顶点，⊙C的半径长为2．以该抛物线对称轴上一点P为圆心，线段PO的长为半径作⊙P，如果⊙P与⊙C相切，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²-bx与x轴正半轴相交于点A，
∴y=0时，得x₁=0，x₂=b，
∴A（b，0），且b＞0，
∴OA=b，
∵△OAB的面积等于6，B（m，-3），
得S_△OAB=3•b=6，
解得：b=4．
∴A（4，0），抛物线的表达式为y=x²-4x，
∵点B（m，-3）在抛物线y=x²-4x上，
∴m²-4m=-3．
解得：m₁=1，m₂=3．
∴点B的坐标为（1，-3）或（3，-3）．

（2）∵y=x²-4x=（x-2）²-4，
∴抛物线的顶点为C（2，-4），对称轴为直线x=2，
设P（2，n）．即得PO=，
当⊙P与⊙C相切时，有外切或内切两种情况，并且n＞-4．
①如果⊙P与⊙C外切，那么 PC=PO+2．
即得 n+4=+2，
解得 n=0，
∴P（2，0）．
②如果⊙P与⊙C内切，那么 PC=PO-2．
即得 n+4=-2，
解得 n=-，
∴P（2，）．
∴所求点P的坐标为（2，0）、（2，）．
分析：（1）根据抛物线y=x²-bx与x轴正半轴相交，得出A的坐标，求出OA的值，再根据△OAB的面积等于6，B（m，-3），得出b的值，即可求出抛物线的表达式，再根据点B（m，-3）在抛物线上，从而求出m的值，求出B点的坐标；
（2）把抛物线y=x²-4x进行整理，得出顶点坐标和对称轴，再设出P点的坐标，得出PO的值，再分两种情况讨论，当⊙P与⊙C外切和果⊙P与⊙C内切时，分别求出PC的值，得出n的值，即可求出点P的坐标．
点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果，不要漏掉．