Question

4．先阅读材料再解决问题．
【阅读材料】
学习了三角形全等的判定方法“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和“HL”后，某小组同学探究了如下问题：“当△ABC和△DEF满足AB=DE，∠B=∠E，AC=DF时，△ABD和△DEF是否全等”．
如图1，这小组同学先画∠ABM=∠DEN，AB=DE，再画AC=DF．在画AC=DF的过程中，先过A作AH⊥BM于点H，发现如下几种情况：
当AC＜AH时，不能构成三角形；
当AC=AH时，根据“HL”或“AAS”，可以得到Rt△ABC≌Rt△DEF．
当AC＞AH时，又分为两种情况．
①当AH＜AC＜AB时，△ABC和△DEF不一定全等．
②当AC≥AB时，△ABC和△DEF一定全等．
【解决问题】
（1）对于AH＜AC＜AB的情况，请你用尺规在图2中补全△ABC和△DEF，使△ABC和△DEF不全等．（标明字母并保留作图痕迹）
（2）对于AC≥AB的情况，请在图3中画图并证明△ABC≌△DEF．

Answer 1

分析 （1）根据题意作图；
（2）分AC=AB、AC＞AB两种情况，根据全等三角形的判定定理证明．

解答 解：（1）如图2，△ABC和△DEF不全等；
（2）证明：当AC=AB时，
∵AC=DF，
∴AC=DF=AB=DE，
∴∠B=∠ACB，∠E=∠DFE，又∵∠B=∠E，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E}\\{∠ACB=∠DFE}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF，
当AC＞AB时，作DI⊥EF于I，
∴∠AHB=∠DIE=90°，
在△ABH和△DEI中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E}\\{∠AHB=∠DIE}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△DEI，
∴AH=DI，
在△AHC和△DIF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{AH=DI}\end{array}\right.$，
∴△AHC≌△DIF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{B=∠E}\\{∠ACB=∠DFE}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DEF．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理并灵活运用是解题的关键．