Question

14．已知，四边形ABCD中，AB=8，BC=2，CD=6，DA=2，M、N分别为AD、BC的中点．当MN取得最大值时，∠D=120°．

Answer 1

分析 连接AC，取AC的中点E，连接EM、EN，由三角形中位线定理和三角形三边关系可知当MN取最大值时CD∥AB，即四边形ABCD为等腰梯形，过D作DF∥BC，可求得△ADF为等边三角形，则可求得∠D的大小．

解答 解：
连接AC，取AC的中点E，连接EM、EN，
∵M、N分别为AD、BC的中点，
∴ME∥CD，NE∥AB，
∵MN≤ME+NE，
∴当MN取得最大值时，点E在线段MN上，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
过D作DF∥BC，则四边形BCDF为平行四边形，
∴BF=CD=6，
∴AF=AD=DF=2，
∴△ADF为等边三角形，
∴∠DAF=60°，
∴∠ADC=180°-60°=120°，
故答案为：120°．

点评 本题主要考查三角形中位线定理和等边三角形的判定和性质，求得四边形ABCD为等腰梯形是解题的关键．